0 引言

变频软启动永磁同步电机依靠一台变频器实现多台电机的软启动^[1—2]，在变频驱动下切换到工频运行，对于不必调速的永磁同步电机，具有成本节约、操作简单方便等优点。与异步电机相比，永磁同步电机具有结构紧凑、功率因数高、功率密度大、可靠性高等优点^[3—6]，已被广泛应用于油田、矿井等工业领域^[7—8]，而网侧电压暂降易触发交流接触器等保护装置^[9—10]，使永磁同步电机退出运行进而引起生产过程中断，造成严重的经济损失。为此，油田现场常采取接触器延时跳闸等治理措施^[11—12]，保证永磁同步电机在暂降期间内不脱网。但目前对于永磁同步电机而言，这种治理措施具有较大的盲目性，因此有必要研究网侧发生电压暂降时永磁同步电机的低电压穿越能力评估方法，进而在线指导电压暂降治理措施的实施。

目前国内外针对电压暂降后电机低电压穿越能力评估方法的研究主要集中在异步电机，对永磁同步电机的研究相对较少。在异步电机方面，文献[13]提出一种在对称电压暂降下，基于稳态等效电路计算异步电机在特定暂降值下的电压暂降临界切除时间和绝对安全电压暂降的方法。文献[14—15]利用异步电机动态方程分析电机负荷特性对变频调速器电压暂降耐受特性的影响。文献[16]利用异步电机转差-电压-转矩关系分析电机在暂降前和暂降中的运动规律，推导出不同类型负载下的低电压穿越能力表达式。文献[17]建立转差率与负载转矩、端电压间的动态模型，分析电压短时中断后转动惯量等参数对异步电机低电压穿越能力的影响。在永磁同步电机方面，文献[18]分析电压波动对电机起动性能和稳态性能的影响，但未涉及电机暂态性能的研究。文献[19]分析电压暂降对变频调速永磁同步电机转速和定子电流变化的影响，但未考虑不受变频控制的永磁同步电机在电压暂降下的动态特性。文献[20]利用仿真研究电压暂降对异步启动永磁同步电机运行性能的影响，结果表明在暂降持续时间内会产生较大的定子电流和转矩峰值。综上所述，目前国内外尚未有针对变频软启动永磁同步电机低电压穿越能力评估方法的相关研究。

变频软启动永磁同步电机依靠变频器实现软启动后切换至工频运行，适用于起动困难但不必调速的电机，电压暂降易触发这类电机的保护装置动作而引发可能尚未失步的永磁同步电机被迫停机。因此，文中推导电压暂降暂态过程中的电磁转矩表达式，将转差率存在负值作为暂态稳定性判据，利用面积法则求出故障临界切除时间。研究永磁同步电机的低电压穿越能力评估方法可为电压暂降的治理提供一定的理论支撑。

1 永磁同步电机暂态力矩分析模型

永磁同步电机作为一种多变量、非线性、强耦合的系统，为便于分析，一般不计饱和、剩磁、涡流、磁链损耗等影响，其数学模型^[21—25]可以表示为：

$ \left\{\begin{array}{l} u_d=R i_d+\frac{\mathrm{d} \psi_d}{\mathrm{~d} t}-\omega_{\mathrm{r}} \psi_q \\ u_q=R i_q+\frac{\mathrm{d} \psi_q}{\mathrm{~d} t}+\omega_{\mathrm{r}} \psi_d \end{array}\right. $

(1)

$ \left\{\begin{array}{l} \psi_d=L_d i_d+\psi_{\mathrm{f}} \\ \psi_q=L_q i_q \end{array}\right. $

(2)

$ T_{\mathrm{e}}=\psi_{\mathrm{f}} i_q+\left(L_d-L_q\right) i_d i_q $

(3)

式中：u_d，u_q分别为dq轴定子电压；R为定子电阻；ψ_d，ψ_q分别为dq轴定子磁链；i_d，i_q分别为dq轴定子电流；ψ_f为永磁体磁链幅值；ω_r为转子转速；L_d，L_q分别为dq轴电感；T_e为电磁转矩。

文中以表贴式永磁同步电机为研究对象，电感可以简化为L_d=L_q=L。联立式(1)和式(2)可得定子dq轴电压为：

$ \left\{\begin{array}{l} u_d=R i_d+L \frac{\mathrm{d} i_d}{\mathrm{~d} t}-\omega_{\mathrm{r}} L i_q \\ u_q=R i_q+L \frac{\mathrm{d} i_q}{\mathrm{~d} t}+\omega_{\mathrm{r}} L i_d+\omega_{\mathrm{r}} \psi_{\mathrm{f}} \end{array}\right. $

(4)

电压暂降后，电机由于电磁转矩与机械转矩的不平衡存在暂态过程，在此期间，定子dq轴电流是时变的，由式(3)可知，电磁转矩也随之变化，其功角曲线不再是稳态下的简单形式，要采用考虑定子绕组暂态的电磁转矩数学模型。

对式(4)进行拉普拉斯变换，求解频域下的q轴电流：

$ \begin{gathered} I_q=\frac{(R+S L) U_q-\omega_{\mathrm{r}} L U_d+S\left(R L+S L^2\right) I_{q 0}}{S\left[(R+S L)^2+\left(\omega_{\mathrm{r}} L\right)^2\right]}- \\ \frac{(R+S L) \omega_{\mathrm{r}} \psi_{\mathrm{f}}+S \omega_{\mathrm{r}} L^2 I_{d 0}}{S\left[(R+S L)^2+\left(\omega_{\mathrm{r}} L\right)^2\right]} \end{gathered} $

(5)

式中：I_d0，I_q0分别为暂降前dq轴的定子电流。

拉普拉斯反变换得到时域下的q轴电流：

$ \begin{gathered} i_q=\frac{R u_q-\omega_{\mathrm{r}} L u_d-R \omega_{\mathrm{r}} \psi_{\mathrm{f}}}{R^2+\omega_{\mathrm{r}}^2 L^2}- \\ \frac{\mathrm{j} u_q-u_d+\mathrm{j} k_{\mathrm{a}} I_{q 0}-\mathrm{j} \omega_{\mathrm{r}} \psi_{\mathrm{f}}-k_{\mathrm{a}} I_{d 0}}{2 \omega_{\mathrm{r}} L+2 \mathrm{j} R} \mathrm{e}^{\frac{k_{\mathrm{a}} }{L}t}+ \\ \frac{-\mathrm{j} u_q-u_d-\mathrm{j} k_{\mathrm{b}} I_{q 0}+\mathrm{j} \omega_{\mathrm{r}} \psi_{\mathrm{f}}-k_{\mathrm{b}} I_{d 0}}{2 \mathrm{j} R-2 \omega_{\mathrm{r}} L} \mathrm{e}^{\frac{k_{\mathrm{b}}}{\mathrm{L}}t} \end{gathered} $

(6)

式中：k_a=－R+jω_rL；k_b=－R－jω_rL。

图 1为永磁同步电机在同步旋转坐标系下的空间矢量图，其中δ为功角；φ为功率因数角; ϕ为内功率因数角; u_s，i_s，ψ_s分别为电机定子电压、电流、磁链；e₀为空载反电动势，e₀=ω_rψ_f；A为电机定子A相。

由图 1永磁同步电机矢量图内的数学关系式可将q轴电流i_q简化为：

$ \begin{gathered} i_q=\frac{R u_{\mathrm{s}} \cos \delta+\omega_{\mathrm{r}} L u_{\mathrm{s}} \sin \delta-R \omega_{\mathrm{r}} \psi_{\mathrm{f}}}{R^2+\omega_{\mathrm{r}}^2 L^2}+ \\ \frac{\omega_{\mathrm{r}} L\left(u_{\mathrm{s}} \sin \left(\omega_{\mathrm{r}} t-\delta\right)-\omega_{\mathrm{r}} \psi_{\mathrm{f}} \sin \left(\omega_{\mathrm{r}} t\right)\right)}{R^2+\omega_{\mathrm{r}}^2 L^2} \mathrm{e}^{-\frac{R}{L}t}+ \\ \frac{R\left(\omega_{\mathrm{r}} \psi_{\mathrm{f}} \cos \left(\omega_{\mathrm{r}} t\right)-u_{\mathrm{s}} \cos \left(\omega_{\mathrm{r}} t-\delta\right)\right)}{R^2+\omega_{\mathrm{r}}^2 L^2} \mathrm{e}^{-\frac{R}{L} t}+ \\ I_{\mathrm{s} 0} \cos \left(\omega_{\mathrm{r}} t-\varphi_0\right) \mathrm{e}^{-\frac{R}{L} t} \end{gathered} $

(7)

式中：I_s0，φ₀分别为暂降前的定子电流和内功率因数角。

联立式(3)和式(7)可得永磁同步电机暂态过程中的电磁转矩T_e为：

$ \begin{gathered} T_{\mathrm{e}}=\psi_{\mathrm{f}} i_q=\\ \psi_{\mathrm{f}} \frac{R u_{\mathrm{s}} \cos \delta+\omega_{\mathrm{r}} L u_{\mathrm{s}} \sin \delta-R \omega_{\mathrm{r}} \psi_{\mathrm{f}}}{R^2+\omega_{\mathrm{r}}^2 L^2}+\\ \frac{\omega_{\mathrm{r}} \psi_{\mathrm{f}} L\left(u_{\mathrm{s}} \sin \left(\omega_{\mathrm{r}} t-\delta\right)-\omega_{\mathrm{r}} \psi_{\mathrm{f}} \sin \left(\omega_{\mathrm{r}} t\right)\right)}{R^2+\omega_{\mathrm{r}}^2 L^2} \mathrm{e}^{-\frac{R}{L} t}+\\ \frac{R \psi_{\mathrm{f}}\left(\omega_{\mathrm{r}} \psi_{\mathrm{f}} \cos \left(\omega_{\mathrm{r}} t\right)-u_{\mathrm{s}} \cos \left(\omega_{\mathrm{r}} t-\delta\right)\right)}{R^2+\omega_{\mathrm{r}}^2 L^2} \mathrm{e}^{-\frac{R}{L} t}+\\ \psi_{\mathrm{f}} I_{\mathrm{s} 0} \cos \left(\omega_{\mathrm{r}} t-\varphi_0\right) \mathrm{e}^{-\frac{R}{L} t} \end{gathered} $

(8)

由式(8)可知，永磁同步电机暂态过程中的电磁转矩与电压暂降幅值、暂降持续时间、转子转速和功角有关，且随时间变化。

2 永磁同步电机低电压穿越能力评估方法 2.1 电机暂态稳定性分析判据及求解方法

电路受扰动后从一个稳定状态到另一个稳定状态经历的过程为暂态过程。电压暂降后，永磁同步电机暂态演变过程如图 2所示。

由图 2可知，电压暂降后转子的角速度ω_r从同步角速度ω_s逐步下降(转差率s则从0逐步上升)，功角δ和电磁转矩T_e将逐步增大。当电磁转矩T_e大于负载转矩T_L时，ω_r开始回升，在恢复到同步速时(s减小到0)，δ将不再增大。由于T_e>T_L，故转子将继续加速，转子转速超过同步速(s < 0)，此时δ将开始回摆并逐步减小，经过多次衰减振荡后可达到新的稳态运行点。

综上可知，电压暂降后电机能否恢复稳定的关键在于暂态过程中转子转速能否超过同步速，即转差率是否过负。由于转子转速不能突变，即转差率不能突变。因此，文中将转差率在暂降期间是否存在负值作为电机暂态是否稳定的判据。

永磁同步电机转子运动方程如式(9)所示。

$ \left\{\begin{array}{l} J \frac{\mathrm{d} \omega_{\mathrm{r}}}{\mathrm{d} t}=T_{\mathrm{e}}-T_{\mathrm{L}} \\ s=\frac{\omega_{\mathrm{s}}-\omega_{\mathrm{r}}}{\omega_{\mathrm{s}}} \\ \delta=\left(\omega_{\mathrm{s}}-\omega_{\mathrm{r}}\right) t+\delta_0 \end{array}\right. $

(9)

式中：J为转动惯量；δ₀为初始功角。

由式(8)和式(9)可知，永磁同步电机暂态运行时，电磁转矩、角转速和功角是随时间变化的，因此应采用数值法逐点进行求解，才能得到具体情况下的数值解。文中用转差率s替换转子角速度ω_r，整理式(9)得：

$ \left\{\begin{array}{l} \frac{\mathrm{d} \delta}{\mathrm{d} t}=\omega_{\mathrm{s}}-\omega_{\mathrm{r}}=\omega_{\mathrm{s}} s \\ \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}=\frac{T_{\mathrm{L}}-T_{\mathrm{e}}}{J \omega_{\mathrm{s}}} \\ \delta=\frac{\mathrm{d} \delta}{\mathrm{d} t} \Delta t+\delta_0 \\ s=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t} \Delta t+s_0 \end{array}\right. $

(10)

式中：s₀为初始转差率。

采用龙格-库塔法求解数值解，实现动态过程分析，其递推公式为：

$ \left\{\begin{array}{l} k_1=2 \pi f_{\mathrm{N}} s_{k-1} \\ k_1^{\prime}=\left(T_{\mathrm{L}}-T_{\mathrm{e}} \delta_{k-1}\right) /\left(J \omega_{\mathrm{s}}\right) \\ k_2=2 \pi f_{\mathrm{N}}\left(s_{k-1}+k_1^{\prime} \Delta t / 2\right) \\ k_2^{\prime}=\left[T_{\mathrm{L}}-T_{\mathrm{e}}\left(\delta_{k-1}+k_1 \Delta t / 2\right)\right] /\left(J \omega_{\mathrm{s}}\right) \\ k_3=2 \pi f_{\mathrm{N}}\left(s_{k-1}+k_2^{\prime} \Delta t / 2\right) \\ k_3^{\prime}=\left[T_{\mathrm{L}}-T_{\mathrm{e}}\left(\delta_{k-1}+k_2 \Delta t / 2\right)\right] /\left(J \omega_{\mathrm{s}}\right) \\ k_4=2 \pi f_{\mathrm{N}}\left(s_{k-1}+k_3^{\prime} \Delta t / 2\right) \\ k_4^{\prime}=\left[T_{\mathrm{L}}-T_{\mathrm{e}}\left(\delta_{k-1}+k_3 \Delta t / 2\right)\right] /\left(J \omega_{\mathrm{s}}\right) \end{array}\right. $

(11)

式中：f_N为额定频率。联立式(10)和式(11)可求出迭代一次的功角δ和转差率s。

$ \left\{\begin{array}{l} \delta_k=\delta_{k-1}+\left(k_1+2 k_2+2 k_3+k_4\right) \Delta t / 6 \\ s_k=s_{k-1}+\left(k_1^{\prime}+2 k_2^{\prime}+2 k_3^{\prime}+k_4^{\prime}\right) \Delta t / 6 \end{array}\right. $

(12)

经过迭代计算求出暂降期间功角和转差率随时间的变化数据，通过转差率是否存在负值判断该暂态下电机能否稳定。

2.2 故障临界切除时间确定方法

根据2.1节永磁同步电机暂态稳定性判据，当转差率一直为正值时，表明电机在该暂降下运行一段时间后失稳。定义该暂降下，最长可运行时间为暂降临界切除时间，超过这个时间，即使电压恢复，电机也会失稳。暂降临界切除时间越长，电机低电压穿越能力越强。基于经典模型下的简单电力系统，利用面积法则求故障临界切除角度，见式(13)。

$ \begin{gathered} \int_{\delta_0}^{\delta_{\mathrm{h}}}\left(P_{\mathrm{e}}-P_{\mathrm{L}}\right) \mathrm{d} \delta=\int_{\delta_0}^{\delta_{\mathrm{cr}}}\left(P_{\mathrm{e} 1}-P_{\mathrm{L}}\right) \mathrm{d} \delta+ \\ \int_{\delta_{\mathrm{cr}}}^{\delta_{\mathrm{h}}}\left(P_{\mathrm{e} 2}-P_{\mathrm{L}}\right) \mathrm{d} \delta=0 \end{gathered} $

(13)

式中：P_L为恒功率负载；δ_cr为临界切除功角；δ_h为临界失稳功角；P_e1，P_e2分别为电压暂降期间和暂降后电磁功率。

电磁功率表达式P_e=T_eω_r结合式(8)，整理得：

$ \begin{gathered} P_{\mathrm{e}}=\frac{\frac{R \psi_{\mathrm{f}}}{\omega_{\mathrm{r}} L^2} u_{\mathrm{s}} \cos \delta+\frac{\psi_{\mathrm{f}}}{L} u_{\mathrm{s}} \sin \delta-\frac{R}{L^2} \psi_{\mathrm{f}}}{R^2 /\left(\omega_{\mathrm{r}}^2 L^2\right)+1}+\\ \frac{\frac{\psi_{\mathrm{f}}}{L}\left(u_{\mathrm{s}} \sin \left(\omega_{\mathrm{r}} t-\delta\right)-\omega_{\mathrm{r}} \psi_{\mathrm{f}} \sin \left(\omega_{\mathrm{r}} t\right)\right)}{R^2 /\left(\omega_{\mathrm{r}}^2 L^2\right)+1} \mathrm{e}^{-\frac{R}{L} t}+\\ \frac{R\left(\frac{\psi_{\mathrm{f}}^2}{L^2} \cos \left(\omega_{\mathrm{r}} t\right)-\frac{\psi_{\mathrm{f}} u_{\mathrm{s}}}{\omega_{\mathrm{r}} L^2} \cos \left(\omega_{\mathrm{r}} t-\delta\right)\right)}{R^2 /\left(\omega_{\mathrm{r}}^2 L^2\right)+1} \mathrm{e}^{-\frac{R}{L^t}}+\\ \omega_{\mathrm{r}} \psi_{\mathrm{f}} I_{\mathrm{s} 0} \cos \left(\omega_{\mathrm{r}} t-\varphi_0\right) \mathrm{e}^{-\frac{R}{L} t} \end{gathered} $

(14)

稳态情况下的dq轴定子电流为：

$ \left\{\begin{array}{l} I_{q 0}=\left(U_{\mathrm{s} 0} \sin \delta_0\right) /\left(\omega_{\mathrm{r}} L\right) \\ I_{d 0}=\left(U_{\mathrm{s} 0} \cos \delta_0-\omega_{\mathrm{r}} \psi_{\mathrm{f}}\right) /\left(\omega_{\mathrm{r}} L\right) \end{array}\right. $

(15)

式中：U_s0为暂降前定子电压。由于ω_rL > > R，因此R/(ω_rL)很小，可以忽略，联立式(14)和式(15)得：

$ \begin{gathered} P_{\mathrm{e}}=\frac{\psi_{\mathrm{f}}}{L} u_{\mathrm{s}} \sin \delta+\left[\frac{\psi_{\mathrm{f}}}{L}\left(u_q-U_{q 0}\right) \sin \left(\omega_{\mathrm{r}} t\right)\right] \mathrm{e}^{-\frac{R}{L^t}}+ \\ {\left[\frac{\psi_{\mathrm{f}}}{L}\left(u_d-U_{d 0}\right) \cos \left(\omega_{\mathrm{r}} t\right)\right] \mathrm{e}^{-\frac{R}{L^t}}} \end{gathered} $

(16)

式中：U_d0，U_q0分别为暂降前dq轴的定子电压，将式(16)代入式(13)得：

$ \begin{gathered} \int_{\delta_0}^{\delta_{\mathrm{h}}}\left(P_{\mathrm{e}}-P_{\mathrm{L}}\right) \mathrm{d} \delta= \\ \int_{\delta_0}^{\delta_{\mathrm{h}}}\left\{\frac{\psi_{\mathrm{f}}}{L} u_{\mathrm{s}} \sin \delta+\left[\frac{\psi_{\mathrm{f}}}{L}\left(u_q-U_{q 0}\right) \sin \left(\omega_{\mathrm{r}} t\right)\right] \mathrm{e}^{-\frac{R}{L} t}+\right. \\ \left.\left[\frac{\psi_{\mathrm{f}}}{L}\left(u_d-U_{d 0}\right) \cos \left(\omega_{\mathrm{r}} t\right)\right] \mathrm{e}^{-\frac{R}{L} t}-P_{\mathrm{L}}\right\} \mathrm{d} \delta \approx \\ \int_{\delta_0}^{\delta_{\mathrm{h}}}\left(\frac{\psi_{\mathrm{f}}}{L} u_{\mathrm{s}} \sin \delta-P_{\mathrm{L}}\right) \mathrm{d} \delta \end{gathered} $

(17)

式(15)积分中的周期性交变衰减分量关于横轴对称，因此可以忽略。假设已知临界功角δ_h，联立式(12)和式(16)可以求得电机的临界切除功角δ_cr，如式(18)所示。

$ \delta_{\mathrm{cr}}=\arccos \left(\frac{u_{\mathrm{s} 2} \cos \delta_{\mathrm{h}}-u_{\mathrm{s} 1} \cos \delta_0+L P_{\mathrm{L}}\left(\delta_{\mathrm{h}}-\delta_0\right) / \psi_{\mathrm{f}}}{u_{\mathrm{s} 2}-u_{\mathrm{s} 1}}\right) $

(18)

式中：u_s1，u_s2分别为暂降期间和暂降后定子电压。

求出临界切除功角δ_cr后，利用龙格-库塔法求解临界切除功角对应的时间，即为临界切除时间t_cr。将系统的实际切除时间t_c和临界切除时间t_cr相比较可以判断电机暂态是否失稳，将k=(t_cr－t_c)/t_cr作为衡量电机稳定性的一种指标。当k>0时，电机稳定，k越大稳定程度越高；k < 0时，电机失稳。

3 仿真分析与验证

为验证模型的准确性及评估方法的可行性，基于龙格-库塔法数值积分法与PSCAD建模仿真进行对比分析，其中理论计算是基于理想电机数学模型所构建的暂态力矩分析模型，仿真数据是基于更贴近现场实际的永磁同步电机模型。由于PSCAD自带模型转子上有2个用于异步起动的阻尼绕组，而文中不考虑电机起动问题，且阻尼绕组在正常运行时不起作用，在转速刚降低时对电磁转矩造成的影响较小，故仿真时忽略其影响，电机参数见表 1。

文中研究的永磁同步电机位于配网端，而引发配网侧电压暂降的因素主要有短路故障、变压器投运和大容量感应电机起动等，短路故障是最主要的电压暂降成因，以三相短路故障最为严重。因此，以三相短路故障造成的电压暂降进行仿真分析。

3.1 电机暂态力矩模型仿真验证

设置永磁同步电机正常工作时机端线电压有效值为380 V，电压暂降发生时刻为5 s。三相短路后，受过渡电阻以及距离故障点远近的影响，不同位置的电机遭受的电压暂降程度不同。电压暂降幅值U为0.8 p.u.，0.7 p.u.，0.6 p.u.情况下，永磁同步电机理论计算和PSCAD仿真对比如图 3所示。

由图 3可知，理论计算与建模仿真得到的角速度曲线接近一致，验证了永磁同步电机暂态力矩分析模型理论推导的准确性。

3.2 电机暂态稳定性判据仿真验证

由3.1节可知，该永磁同步电机的临界失稳电压为0.6~0.7 p.u.，文中以0.01 p.u.作为步长在此电压暂降范围内进行理论计算，与仿真形成的角速度对比以及理论计算得到的转差率见图 4—图 6。

由图 4—图 6可知，当转差率过负时，电机在该暂降下能够恢复稳定；当转差率一直大于0时，电机会失稳。验证了将永磁同步电机的转差率在暂降期间存在负值作为电机暂态期间能够恢复稳定的判据的准确性。

3.3 电机带载率对安全稳定临界电压的影响

基于转差率的电机暂态稳定分析判据可确定永磁同步电机的安全稳定临界电压。改变永磁同步电机带载率，将数值积分法求得的转差率临界负值对应的电压作为该带载率下永磁同步电机的安全稳定临界电压。在PSCAD模型中，设置永磁同步电机端电压的暂降幅值从0开始以0.01 p.u.递增，将能够恢复稳定的暂降电压作为安全稳定临界电压，2种仿真结果对比见表 2，曲线见图 7。

由表 2可知，理论计算与仿真得到的暂态稳定临界电压相对误差均小于6%，表明将转差率是否存在负值作为电机能否稳定的判据，进而确定暂态稳定临界电压是可行的，且电机带载率越高，暂态稳定临界电压幅值越高。

3.4 电压暂降幅值对故障临界切除时间的影响

为简化分析，将δ_h=180°设定为临界功角，在电机满载情况下改变电压暂降幅值，利用式(18)求解故障临界切除功角，进行数值解计算得到理论切除时间，与仿真结果对比见表 3，得到的曲线见图 8。

由表 3可知，理论计算与仿真结果的相对误差在某些暂降情况下为0，而在其他暂降情况下处于4.76%~8.10%，表明相对误差具有一定的波动性，这种现象与龙格-库塔法计算步长的选择有关，步长选择不当容易引起数值计算不稳。文中的计算步长为0.001~0.05 s，选择0.01 s是为在数值计算收敛的前提下与PSCAD仿真模型的采样步长保持一致，PSCAD仿真模型中采样步长太小波形容易波动，太大容易失稳。文中仿真误差在合理范围内，验证了故障临界切除时间方法的有效性。由图 8可知，电机的故障临界切除时间与电压暂降幅值有关，电压暂降幅值越大，故障临界切除时间越长。

3.5 电机带载率对故障临界切除时间的影响

设定电压暂降幅值为0.1 p.u.，仿真电机带载率对故障临界切除时间的影响，仿真数据如表 4所示，曲线如图 9所示。

仿真结果表明，电机的故障临界切除时间与电机带载率有关，且电机带载率越低，故障临界切除时间越长。

4 总结

变频软启动永磁同步电机在工频运行时不受变频器控制，分析其低电压穿越能力时可忽略变频器的影响。文中基于dq同步旋转坐标系构建永磁同步电机暂态力矩分析模型，提出电机低电压穿越能力评估方法，对比Matlab理论计算与PSACD仿真结果验证永磁同步电机低电压穿越能力评估方法的可行性，研究结果表明：

(1) 网侧电压暂降场景下的永磁同步电机转差率是否存在负值可以作为电机暂态能否稳定的判据，通过暂态稳定判据可以确定电机暂态稳定临界电压。电机带载率是暂态稳定临界电压的影响因素之一，带载率越高，安全稳定临界电压越高。

(2) 基于面积法则求解故障临界切除功角，可得到故障临界切除时间。电机的故障临界切除时间与电压暂降幅值和电机带载率有关，电压暂降幅值越大、电机带载率越低，故障临界切除时间越长。