0 引言

相比于两电平、三电平电压源换流器(voltage source converter，VSC)，模块化多电平换流器(modular multilevel converter，MMC)以其模块化设计、谐波含量低和输出电压等级高等优点^[1-6]，在高压直流输电领域应用广泛。我国已经投运的上海南汇、广东南澳、浙江舟山等柔性直流输电工程均采用MMC拓扑结构。

MMC系统安全稳定运行是当前的研究热点。当交流侧发生不对称故障，如电压不对称跌落和单相接地故障等时，产生的负序分量会给系统带来一系列负面影响，如输出电压、电流波形畸变等，此时通过引入双序电流控制可很好地改善电流波形质量^[7-8]。同时，针对故障引起并网点电压下降的问题，诸多文献提出通过注入无功电流支撑电压的控制策略。文献[9-10]提出根据电压跌落程度和电网阻抗生成无功电流指令值。文献[11-12]通过分析功率与电流的关系，实现电压抬升及电流限幅。

对于不同的交流侧故障，电压不对称跌落下通过相序分离得到的交流侧等效双序回路模型相互独立，而在单相接地故障下，接地阻抗的存在会将各个序网络连接起来，使得各序回路之间相互作用。因此，无功电流的注入还需考虑序网络间的耦合特性，同时交流侧阻抗的改变也会对整个系统的稳定性产生不同影响。

目前常采用小信号建模方法进行系统级稳定性分析，文献[13-14]基于平均开关函数模型建立考虑内部动态行为的MMC系统小信号模型，并进行相应的模态分析。文献[15]建立基于广义动态相量的小信号模型，并考虑换流器内部高阶谐波的作用。上述研究均建立于无外部故障扰动的情况，而当交流侧发生不对称故障时，系统内部产生的谐波序分量和用于改善波形质量新增的控制环节会增加建模的复杂性。文献[16-18]建立三相对称与不对称电压跌落下VSC系统的小信号模型并进行动态特性分析。文献[19-20]基于不对称电网电压条件下的MMC系统小信号模型，分析新增负序电流控制器对稳定性的影响。

为了更好地研究单相接地故障下阻抗参数和电流耦合特性对MMC系统稳定性的影响，文中首先基于交流侧等效模型分析双序网络间的耦合关系，然后建立对应工况下MMC系统的小信号模型，并分析阻抗变化和电流注入对稳定性的影响过程，最后给出定量分析结果并进行仿真验证。文中所提分析方法从稳定性角度为单相接地故障下MMC系统的参数设计和电流注入策略制定提供了一定参考。

1 单相接地故障下MMC系统结构 1.1 MMC系统拓扑

单相接地故障F下并网MMC系统拓扑如图 1所示。MMC通过Y-△连接的变压器与非理想电网相连。U_dc为直流电压源；U_g为电网电压；Z_g为交流系统等效阻抗；U_s，I_s分别为端电压和交流电流；L_f为滤波电感。

MMC三相拓扑如图 2所示，每一相包含上、下2个桥臂，每个桥臂由N个子模块(SM)、桥臂电阻R₀和电感L₀串联组成。C，C_eq分别为单个子模块电容和单个桥臂的等效电容，C_eq=C/N; u_arm，i_arm分别为桥臂电压和桥臂电流；i_uj，i_lj分别为上、下桥臂电流，j=a, b, c；u_sm，i_sm分别为子模块电容电压和电流；I_dc为直流电流；S为平均开关函数，表示子模块的投入比例。MMC可以通过控制子模块的投切，快速调节输出多电平交流电压。

1.2 MMC系统交流侧等效模型

假设单相接地故障发生在a相，则图 1的等效模型和合并后的各序电路分别如图 3、图 4所示。Z_F为接地阻抗；Z_T为变压器等效阻抗；上标+，-，0分别表示正序、负序和零序。

由图 4可知，Z_F将各个序网络连接起来，导致各个序网络之间相互作用。变压器采用Y-△连接方式，故交流电压和电流不存在零序分量。系统主要电路参数如表 1所示。

由图 4可得正序、负序电压分别如式(1)、式(2)所示。此外，文中还考虑了变压器对电压、电流相移的作用：在正序网络中，Y侧电压/电流比Δ侧电压/电流超前30°，而在负序网络中则刚好相反。

$ U_{\mathrm{s}}^{+} \mathrm{e}^{\mathrm{j} {\rm{ \mathsf{ π} }} / 6}=Z_{1} U_{\mathrm{g}}+Z_{2} I_{\mathrm{s}}^{+} \mathrm{e}^{\mathrm{j} {\rm{ \mathsf{ π} }} / 6}+Z_{3} I_{\mathrm{s}}^{-} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} {\rm{ \mathsf{ π} }} / 6} $

(1)

$ U_{\mathrm{s}}^{-} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} {\rm{ \mathsf{ π} }} / 6}=Z_{4} U_{\mathrm{g}}+Z_{5} I_{\mathrm{s}}^{+} \mathrm{e}^{\mathrm{j} {\rm{ \mathsf{ π} }} / 6}+Z_{6} I_{\mathrm{s}}^{-} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} {\rm{ \mathsf{ π} }} / 6} $

(2)

式中: Z₁-Z₆如式(3)所示；U_s⁺，U_s^-相位均由锁相环控制。

$ \left\{\begin{array}{l} \left|Z_{1}\right| \angle \varphi_{1}=\frac{Z_{\mathrm{g}}^{-}+Z}{Z_{\mathrm{g}}^{+}+Z_{\mathrm{g}}^{-}+Z} \\ \left|Z_{2}\right| \angle \varphi_{2}=-Z_{\mathrm{T}}^{+}-\frac{Z_{\mathrm{g}}^{+}\left(Z_{\mathrm{g}}^{-}+Z\right)}{Z_{\mathrm{g}}^{+}+Z_{\mathrm{g}}^{-}+Z} \\ \left|Z_{3}\right| \angle \varphi_{3}=\frac{Z_{\mathrm{g}}^{+} Z_{\mathrm{g}}^{-}}{Z_{\mathrm{g}}^{+}+Z_{\mathrm{g}}^{-}+Z} \\ \left|Z_{4}\right| \angle \varphi_{4}=-\frac{Z_{\mathrm{g}}^{-}}{Z_{\mathrm{g}}^{+}+Z_{\mathrm{g}}^{-}+Z} \\ \left|Z_{5}\right| \angle \varphi_{5}=\frac{Z_{\mathrm{g}}^{+} Z_{\mathrm{g}}^{-}}{Z_{\mathrm{g}}^{+}+Z_{\mathrm{g}}^{-}+Z} \\ \left|Z_{6}\right| \angle \varphi_{6}=-Z_{\mathrm{T}}^{-}-\frac{Z_{\mathrm{g}}^{-}\left(Z_{\mathrm{g}}^{+}+Z\right)}{Z_{\mathrm{g}}^{+}+Z_{\mathrm{g}}^{-}+Z} \\ Z=3 Z_{F}+\frac{Z_{\mathrm{g}}^{0} Z_{\mathrm{T}}^{0}}{Z_{\mathrm{g}}^{0}+Z_{\mathrm{T}}^{0}} \end{array}\right. $

(3)

将e^-jθ_s代入式(1)、式(2)，其中，θ_s为锁相环输出相位，转换至dq同步旋转坐标系下：

$ \begin{gathered} U_{\mathrm{s} d}^{+}=\left|Z_{1}\right|\left|U_{\mathrm{g}}\right| \sin \left(\delta+\varphi_{1}-{\rm{ \mathsf{ π} }} / 6\right)+ \\ \left|Z_{2}\right|\left(I_{\mathrm{s} d}^{+} \cos \varphi_{2}+I_{\mathrm{s} q}^{+} \sin \varphi_{2}\right)+ \\ \left|Z_{3}\right|\left[I_{\mathrm{s} d}^{-} \cos \left(\varphi_{3}-{\rm{ \mathsf{ π} }} / 3\right)-I_{\mathrm{s} q}^{-} \sin \left(\varphi_{3}-{\rm{ \mathsf{ π} }} / 3\right)\right] \end{gathered} $

(4)

$ \begin{gathered} U_{\mathrm{s} q}^{+}=\left|Z_{1}\right|\left|U_{\mathrm{g}}\right| \cos \left(\delta+\varphi_{1}-{\rm{ \mathsf{ π} }} / 6\right)+ \\ \quad\left|Z_{2}\right|\left(I_{\mathrm{s}q}^{+} \cos \varphi_{2}-I_{\mathrm{s} d}^{+} \sin \varphi_{2}\right)- \\ \left|Z_{3}\right|\left[I_{\mathrm{s}q}^{-} \cos \left(\varphi_{3}-{\rm{ \mathsf{ π} }} / 3\right)+I_{\mathrm{s} d}^{-} \sin \left(\varphi_{3}-{\rm{ \mathsf{ π} }} / 3\right)\right] \end{gathered} $

(5)

$ \begin{gathered} U_{\mathrm{s} d}^{-}=\left|Z_{4}\right|\left|U_{\mathrm{g}}\right| \sin \left(\delta+\varphi_{4}+{\rm{ \mathsf{ π} }} / 6\right)+ \\ \left|Z_{5}\right|\left[I_{\mathrm{s} d}^{+} \cos \left(\varphi_{5}+{\rm{ \mathsf{ π} }} / 3\right)+I_{\mathrm{s}q}^{+} \sin \left(\varphi_{5}+{\rm{ \mathsf{ π} }} / 3\right)\right]+ \\ \left|Z_{6}\right|\left(I_{\mathrm{s} d}^{-} \cos \varphi_{6}-I_{\mathrm{s} q}^{-} \sin \varphi_{6}\right) \end{gathered} $

(6)

$ \begin{gathered} U_{\mathrm{s} q}^{-}=-\left|Z_{4}\right|\left|U_{\mathrm{g}}\right| \cos \left(\delta+\varphi_{4}+{\rm{ \mathsf{ π} }} / 6\right)- \\ Z_{5} \mid\left[I_{\mathrm{s} q}^{+} \cos \left(\varphi_{5}+{\rm{ \mathsf{ π} }} / 3\right)-I_{\mathrm{s} d}^{+} \sin \left(\varphi_{5}+{\rm{ \mathsf{ π} }} / 3\right)\right]+ \\ \left|Z_{6}\right|\left(I_{\mathrm{s} q}^{-} \cos \varphi_{6}+I_{\mathrm{s} d}^{-} \sin \varphi_{6}\right) \end{gathered} $

(7)

式中：U_sd⁺，U_sq⁺为正序电压；U_sd^-，U_sq^-为负序电压；I_sd⁺, I_sd^-分别为正序、负序有功电流；I_sq⁺, I_sq^-分别为正序、负序无功电流；δ为θ_g与θ_s之间的相角差，θ_g为U_g相位。

由式(1)、式(2)可知，U_s特性与U_g，I_s间压降有关，同时Z₃I_s^-e^-jπ/6和Z₅I_s⁺e^jπ/6反映了双序网络间的耦合关系：负序电流会对正序电压产生影响，而正序电流会对负序电压产生影响。

当单相接地故障发生后，U_s幅值会有一定程度的跌落，此时可通过注入无功电流抬升电压。由式(4)-式(7)可知：注入一定的I_sq⁺会提高U_sd⁺，但同时也会使得U_sd^-和U_sq^-增加；而注入一定的I_sq^-会同时降低正序、负序电压。因此，将注入的I_sq⁺和I_sq^-相配合，可使系统实现故障下的低电压穿越。上述过程如图 5所示。发生a相接地故障后，在1 s时注入I_sq⁺为-0.6 kA，2 s时注入I_sq^-为0.8 kA，U_s明显改善。

2 小信号模型建立

由于MMC子模块电容的分散布置，各个子模块在充放电过程中会出现电容电压波动的情况，进而导致桥臂电流出现二倍频为主的谐波分量。实际上，u_sm和i_arm的谐波构成了MMC的内部动态特性，为建立状态空间模型提供了基础。

为了简化电路分析，假设同一桥臂上的所有子模块可以等效为一个受控电压源，如图 2所示，且在排序均压算法下所有u_sm均相等，则u_sm，u_arm, i_arm间的关系为^[21]：

$ u_{\mathrm{arm}}=N S u_{\mathrm{sm}} $

(8)

$ C \frac{\mathrm{d} u_{\mathrm{sm}}}{\mathrm{d} t}=S i_{\mathrm{arm}} $

(9)

在实际应用中，常采用最近电平调制方法控制子模块投切。在不平衡电网条件下，为了改善输出波形质量，部分调制信号还会由引进的负序电流抑制器产生，则上、下桥臂平均开关函数S_u，S_l可表示为：

$ \left\{\begin{array}{l} S_{\mathrm{u}}=\frac{1}{2}-\left(\frac{u_{\mathrm{c}}^{+}}{U_{\mathrm{dc}}}+\frac{u_{\mathrm{c}}^{-}}{U_{\mathrm{dc}}}\right)+\frac{U_{\mathrm{cir}}}{U_{\mathrm{dc}}} \\ S_{1}=\frac{1}{2}+\left(\frac{u_{\mathrm{c}}^{+}}{U_{\mathrm{dc}}}+\frac{u_{\mathrm{c}}^{-}}{U_{\mathrm{dc}}}\right)+\frac{U_{\mathrm{cir}}}{U_{\mathrm{dc}}} \end{array}\right. $

(10)

式中：u_c⁺, u_c^-，U_cir分别为正序电流控制器、负序电流控制器和环流抑制器输出的参考电压。

假设MMC的等效开关频率足够高，忽略u_sm中高于三倍频的分量，则u_sm可表示为：

$ \begin{gathered} u_{\mathrm{sm}}=u_{\mathrm{smdc}}+\left(u_{\mathrm{sm1}}^{+}+u_{\mathrm{sm} 1}^{-}+u_{\mathrm{sm} 1}^{0}\right)+ \\ \left(u_{\mathrm{sm} 2}^{+}+u_{\mathrm{sm} 2}^{-}+u_{\mathrm{sm} 2}^{0}\right)+u_{\mathrm{sm} 3} \end{gathered} $

(11)

式中：u_smdc为直流分量；u_smk⁺, u_smk^-, u_smk⁰为各序分量，k=1, 2分别表示基频、二倍频；u_sm3为三倍频分量。

交流侧电流无零序分量，但零序分量仍存在于桥臂的二倍频环流中，导致直流侧功率波动。因此上、下桥臂电流表示为：

$ \left\{\begin{array}{l} i_{\mathrm{u}}=\frac{1}{3} I_{\mathrm{dc}}-\frac{1}{2}\left(I_{\mathrm{s}}^{+}+I_{\mathrm{s}}^{-}\right)+\left(I_{2 \mathrm{f}}^{+}+I_{2 \mathrm{f}}^{-}+I_{2 \mathrm{f}}^{0}\right) \\ i_{1}=\frac{1}{3} I_{\mathrm{dc}}+\frac{1}{2}\left(I_{\mathrm{s}}^{+}+I_{\mathrm{s}}^{-}\right)+\left(I_{2 \mathrm{f}}^{+}+I_{2 \mathrm{f}}^{-}+I_{2 \mathrm{f}}^{0}\right) \end{array}\right. $

(12)

式中：I_2fs⁺, I_2f^-，I_2f⁰为二倍频环流各序分量。

将式(10)、式(12)代入式(9)中，可得到u_sm各分量的状态方程。同理，将式(10)、式(11)代入式(8)，并将所得方程与交直流侧电路的KVL方程相结合，即可求出i_arm各分量的状态方程。因此，基于u_sm和i_arm的状态方程即可建立MMC的状态空间模型。

MMC系统控制框图如图 6所示。相序分离环节中采用同步相位和对称分量实时检测方法^[22]，将采集到的三相交流电压和电流变换到αβ参考坐标系下，然后将该αβ分量和相移90°后的分量通过图 6所示的矩阵转换成正负序分量。根据图 6的控制系统框图，可以得到各控制器的状态方程。

文献[15-16]具体给出了MMC和控制系统的状态空间方程，此处不再赘述。将MMC与控制系统的状态方程在某一稳态工作点进行线性化，再与式(4)-式(7)线性化后的表达式合并，得到MMC系统的小信号模型为：

$ \Delta \dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{A} \Delta \boldsymbol{x}+\boldsymbol{B} \Delta \boldsymbol{u} $

(13)

式中：A，B分别为状态矩阵和输入矩阵；Δx为状态变量；Δu为输入变量。

3 系统参数对稳定性的影响

文中主要分析阻抗、电流参数改变使系统失稳的机理，然后利用李雅普诺夫稳定性判据分析参数变化时MMC系统的小信号稳定性。即由式(13)求出的所有特征根的实部均为负时，系统在该运行点处受到扰动可以恢复稳定；而当至少一个特征根的实部为正时，系统在该运行点处受到扰动会失稳。

3.1 阻抗参数对稳定性的影响

交流侧阻抗大小影响锁相环的动态特性，进而影响系统的动态特性。单相接地时，Z_F改变了系统交流侧的拓扑结构，使得各序电网阻抗之间、Z_g与Z_F之间相互耦合，如式(3)所示，共同影响系统的稳定性。

为了更好地说明阻抗变化对电压的影响，文中假设：负序电流被抑制为0，且正序电流能迅速跟踪指令值；负序电压相对正序电压较小，暂不考虑功率波动对稳定性的影响；电阻相比于电感足够小，阻抗角接近于90°。

则式(4)、式(5)可以改写为：

$ U_{\mathrm{s} d}^{+}=\left|Z_{1}\right|\left|U_{\mathrm{g}}\right| \sin (\delta-{\rm{ \mathsf{ π} }} / 6) $

(14)

$ U_{\mathrm{s} q}^{+}=\left|Z_{1}\right|\left|U_{\mathrm{g}}\right| \cos (\delta-{\rm{ \mathsf{ π} }} / 6)+\left|Z_{2}\right| I_{\mathrm{s} d}^{+}=0 $

(15)

进而求出有功功率P为：

$ P=\left|Z_{1}\right|\left|U_{\mathrm{g}}\right| I_{\mathrm{s}d}^{+} \sin (\delta-{\rm{ \mathsf{ π} }} / 6) $

(16)

功角特性曲线如图 7所示，P₁为扰动前的有功功率。由式(15)可知，扰动前的相角差δ₁>2π/3。Z_g减小或Z_F增大时，Z₁增大，Z₂减小，从而使U_sd⁺增大，U_sq⁺减小。此时由于瞬时功率增加ΔP，而相角无法瞬时跳变，系统工作点会由a点升至b点。在锁相环调节作用下，U_sq⁺减小导致δ₁减小，系统工作点会沿新的功角特性曲线移向c点。若在d点之前由于扰动积累的能量被系统全部吸收，即加速面积ΔS₁小于减速面积ΔS₂，则系统工作点将会稳定在c点，否则工作点会越过d点，δ₁会继续减小，从而系统失稳。

阻抗参数变化时系统特征根轨迹如图 8所示。图 8(a)中，当Z_g幅值|Z_g|由3.31 Ω逐渐减小至1.32 Ω时，部分特征根会远离虚轴，但主导模态对应的特征根会靠近虚轴，说明发明单相接地故障时，|Z_g|减小会削弱MMC系统的小信号稳定性。而当|Z_g|减小至1.69 Ω时，会有一对特征根越过虚轴，使得系统失去稳定。图 8(b)中，Z_F幅值|Z_F|由7.57 Ω逐渐增大至15.14 Ω时，主导模态对应的特征根逐渐靠近虚轴，导致MMC系统的小信号稳定性减弱。当|Z_F|增大至13.18 Ω时，会有一对特征根进入不稳定区域。

3.2 电流耦合对稳定性的影响

由1.2节可知，注入一定的I_sq⁺和I_sq^-能够很好地实现单相接地故障下的低电压穿越。事实上，由于I_sq⁺和I_sq^-均会改变正序电压的大小，其共同注入与分别单独注入对系统稳定性的影响不同。文中以仅注入I_sq⁺、同时注入I_sq⁺和I_sq^-为例，分别分析电流耦合对稳定性的影响机理。

通过式(1)可以得到单相接地故障下正序电压相量图，如图 9所示。仅注入I_sq⁺时，随着I_sq⁺幅值逐渐增大，Z₂I_s⁺e^jπ/6的幅值也会增大，且向逆时针方向移动，系统稳定工作点将从e点向f点移动，而当工作点越过f点来到g点，由于无法在圆内构成闭合的矢量三角形，系统将会失去稳定性。而同时注入I_sq⁺和I_sq^-时，I_sq^-的注入使图 9(a)中无法闭合的矢量三角形形成一个新的闭合回路，说明I_sq^-的注入使得I_sq⁺的极限值增大，增强了系统的稳定性。

图 10为I_sq^-注入前后，I_sq⁺由0逐渐变化至-1.5 kA时系统的特征根轨迹。由图 10可知，系统整体的小信号稳定性随着I_sq⁺的增大而减弱，且超过一定值时会有一对特征根越过虚轴，使得系统失去稳定性。比较图 10(a)、(b)可知，当I_sq^-为0.4 kA时，使系统失稳的I_sq⁺临界值由0.9 kA增大为1.4 kA，说明单相接地故障下双序无功电流注入比仅I_sq⁺注入更具优势。

4 仿真验证

为了验证第3章稳定性分析理论的正确性，在PSCAD/EMTDC仿真平台搭建如图 1所示的21电平MMC系统模型。MMC系统主要仿真参数如表 1所示。各控制器参数设置为：锁相环比例积分(proportional integral，PI)参数k_ppll，k_ipll分别为0.2, 1 000；正序电流控制器PI参数k_p1，k_i1分别为5, 100；负序电流控制器PI参数k_p2, k_i2分别为5，100；环流抑制器PI参数k_p2f, k_i2f分别为20，100。通过观察I_sd⁺，I_sq⁺，U_sd⁺，U_sq⁺，P，Q，I_dc的输出波形判断系统的运行状态。

4.1 阻抗参数变化的稳定性验证

保持其他参数不变，在2 s时|Z_g|由3.31 Ω减小至1.32 Ω，仿真结果如图 11所示。由图 11可知，|Z_g|减小使得U_sd⁺和P增大一定值后振荡发散，其他参数在恢复到原来水平的过程中也会逐渐发散，说明系统已经失稳。

在2 s时，|Z_F|由7.57 Ω增大至15.14 Ω，仿真结果如图 12所示，此时系统出现了很明显的振荡失稳现象，验证了理论分析的正确性。

4.2 电流耦合的稳定性验证

其他参数不变，2 s时只注入-1.1 kA的I_sq⁺，仿真结果如图 13所示，系统工作点越过了稳定区域而迅速失稳。

对比于图 13，在已注入I_sq^-为0.4 kA的情况下，2 s时注入相同大小的I_sq⁺，仿真结果如图 14所示。系统工作点未越过稳定区域，故能恢复稳定。

5 结论

文中首先建立了单相接地故障下考虑接地阻抗的MMC系统交流侧序网络模型，并给出了端电压表达式，然后与MMC及控制系统的状态方程联立并线性化得到MMC系统的小信号模型。对所得模型进行稳定性分析，其主要结论如下：

(1) 减小Z_g或增大Z_F，使有功功率增加的同时也会使电网电压与并网点电压之间的相角差减小，不利于MMC系统的稳定性。

(2) 由于序网络间的耦合关系，I_sq⁺的注入能同时抬升正序和负序电压；而I_sq^-的注入则会同时使正序和负序电压降低。与仅注入I_sq⁺情况相比，I_sq^-的注入能改善系统的稳定性。因此，双序无功电流的配合注入可抬升电压, 同时降低电压不平衡度。