0 引言

20世纪80年代初，文献[1]首次提出空间负荷预测概念，即在规划用电区域内，将用地按照一定规则划分为相同大小或不同大小的小区(也可称为元胞)，通过对小区历史负荷以及土地利用特征、发展规律的分析，预测小区的电力负荷情况^[2]。空间负荷预测结果关系配电网规划的合理性，预测值过大或过小都会带来不利影响，因此对空间负荷预测结果的精度有着较高的要求^[3]。

目前，空间负荷预测方法主要有用地仿真法、趋势法、多元变量法和负荷密度指标法^[2]。用地仿真法采用大小相同的网格划分小区，故仅能得到小区的理论负荷值，无法得到实际负荷值，对预测结果检验造成一定困难^[4-5]。趋势法简单方便，数据需求量小，但其受负荷数据波动和外部环境变化的影响较大^[6-7]。多元变量法对数据的质量和数量都有较高要求，且有效预测期较短^[8]。负荷密度指标法在用地性质较为明确的规划区域，具有较好的预测精度和较强的适应性^[9-11]，在国内应用较为广泛。

近年来，采用负荷密度指标法的空间负荷预测不断发展，预测精度有所提高，但仍需完善。文献[12]提出基于最小二乘支持向量机(least square support vector machine，LS-SVM)的负荷密度指标法。该方法采用聚类后与待预测小区负荷密度指标较为接近的一类小区负荷密度指标作为LS-SVM模型的训练样本，训练样本中夹杂部分相似度较低的样本，且可能会漏掉部分较好的样本。文献^[13-14]引入灰色关联分析(grey relational analysis，GRA)，选取与待预测小区负荷密度指标关联度较高的样本作为LS-SVM模型的训练样本，进一步提高了预测精度，但未考虑各影响因素指标对负荷密度影响程度不一的问题，且LS-SVM模型计算相对复杂，影响预测模型的整体运行速度。

文中针对以上问题，提出一种基于负荷密度指标优化与GRA-ELM的空间负荷预测方法。应用熵权法优化负荷密度指标的影响权重，引入极限学习机(extreme learning machine，ELM)降低算法复杂度，提高模型运算速度，并应用GRA为ELM选取训练样本。通过实例分析可知，文中所提方法空间负荷预测精度较其他方法有所提高。

1 熵权法

熵权法根据被评价对象指标值构成的判断矩阵确定指标权重，是一种客观赋权法，能有效避免专家意见主观性的影响^[15]。当样本中某项指标值变化较大时，其熵值较小，说明该指标提供的有效信息量大，权重相应较大；反之，指标的熵值较大，则该指标的权重较小。一组数据的信息熵定义为：

$ E_{j}=-\ln \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}\left(p_{i j} \ln p_{i j}\right) $

(1)

式中：n为样本总数；p_ij为样本i的第j个指标信息量在n个样本总指标信息量中的比例。

$ p_{i j}=Y_{i j} / \sum\limits_{i=1}^{n} Y_{i j} $

(2)

式中：Y_ij为样本数据标准化值。

对各指标进行信息熵计算，假设评价对象的指标共有k个，则各指标对评价对象影响权值为：

$ w_{j}=\frac{1-E_{j}}{k-\sum\limits_{j=1}^{k} E_{j}} j=1, 2, \cdots, k $

(3)

利用熵权法可以确定负荷密度指标体系中不同类型负荷各指标的影响程度，并以权重分配的形式表现出来。

2 GRA-ELM模型 2.1 GRA算法

GRA算法的基本思路是根据序列曲线几何形状的相似程度判断其联系是否紧密^[15]。曲线相似度越高，则相应序列之间关联度越大；反之，曲线相似度越低，则相应序列之间关联度越小。

根据关联度定义，已知序列Y和其相关序列Z_i在第j项的关联系数为：

$ g\left(\boldsymbol{Y}_{j}, \boldsymbol{Z}_{i j}\right)=\frac{\min \Delta_{i j}-\lambda \max \Delta_{i j}}{\Delta_{i j}+\lambda \max \Delta_{i j}} $

(4)

$ \Delta_{i j}=\left|\boldsymbol{Y}_{j}-\boldsymbol{Z}_{i j}\right| $

(5)

式中：λ为分辨系数，取值为[0, 1]；Δ_ij为Y和Z_i在第j项的绝对差；min Δ_ij，max Δ_ij分别为第j项绝对差值的最小和最大值。

则Y_j和Z_i的关联度为：

$ G\left(\boldsymbol{Y}_{j}, \boldsymbol{Z}_{i}\right)=\sum\limits_{j} g\left(\boldsymbol{Y}_{j}, \boldsymbol{Z}_{i j}\right) $

(6)

2.2 ELM算法

ELM算法是一种单隐含层前馈神经网络学习算法^[16]，该算法随机产生输入层与隐含层间的连接权值及隐含层神经元的阈值，且在训练过程中无需调整，通过求解广义逆矩阵得出输出权重矩阵。与LS-SVM相比，该算法无需选取核函数，且计算相对简单，因而训练速度较快^[16]。

假设共有N组训练样本(X_j, t_j)，其中X_j=[x_j1 x_j2 … x_jn]^T∈ R _n，t_j=[t_j1 t_j2 … t_jm]^T∈ R _m, j=1, 2, …, N，ELM隐含层含L个神经元，则ELM的输出为：

$ f(x)=\sum\limits_{i=1}^{L}\left[\boldsymbol{\beta}_{i} e\left(\boldsymbol{W}_{i} \boldsymbol{X}_{j}+b_{i}\right)\right] $

(7)

式中：e(·)为激励函数；W_i=[w_i1 w_i2 … w_in]为隐含层第i个神经元与各个输入层神经元间的连接权值；β_i=[β_i1 β_i2 … β_im]^T为隐含层第i个神经元与各个输出层神经元间的连接权值；b_i为隐含层第i个神经元的阈值。ELM结构如图 1所示，其中M为输出层节点数。

为使单隐含层的输出误差达到最小学习目标，式(7)可表示为：

$ \boldsymbol{H} \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{T} $

(8)

式中: B为隐含层与输出层的连接权值矩阵; T为期望输出；H为神经网络的隐含层输出矩阵，如式(9)所示。

$ \boldsymbol{H}(\boldsymbol{W}, \boldsymbol{X}, \boldsymbol{b})=\left[\begin{array}{ccc} e\left(\boldsymbol{W}_{1} \boldsymbol{X}_{1}+b_{1}\right) & \cdots & e\left(\boldsymbol{W}_{L} \boldsymbol{X}_{1}+b_{L}\right) \\ \vdots & & \vdots \\ e\left(\boldsymbol{W}_{1} \boldsymbol{X}_{N}+b_{1}\right) & \cdots & e\left(\boldsymbol{W}_{L} \boldsymbol{X}_{N}+b_{L}\right) \end{array}\right] $

(9)

$ \boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{c} \beta_{1}^{\mathrm{T}} \\ \vdots \\ \beta_{L}^{\mathrm{T}} \end{array}\right]_{L \times m}, \boldsymbol{T}=\left[\begin{array}{c} t_{1}^{\mathrm{T}} \\ \vdots \\ t_{L}^{\mathrm{T}} \end{array}\right]_{N \times m} $

(10)

式中：W为输入层与隐含层之间的连接值；b为隐含层神经元阈值。

ELM参数无需全部给定，W和b在训练过程中随机给定，H在训练过程中保持不变。因此，整个神经网络的训练过程相当于寻找式(8)线性系统的最小二乘解$\mathit{\boldsymbol{\hat \beta }}$。

$ \|\boldsymbol{H} \hat{\boldsymbol{\beta}}-\boldsymbol{T}\|=\min \limits_{\boldsymbol{\beta}}\|\boldsymbol{H} \boldsymbol{\beta}-\boldsymbol{T}\| $

(11)

通常L < N，故此时H奇异，可通过广义逆矩阵求解奇异矩阵的逆矩阵，即式(11)的解为：

$ \hat{\boldsymbol{\beta}}=\boldsymbol{H}^{+} \boldsymbol{T} $

(12)

式中：H⁺为H的广义逆。

考虑到ELM中，W和b均为随机给定，对未知输入参数识别能力差，无法保证预测精度为模型最优。因此引入粒子群优化(particle swarm optimization，PSO)算法对ELM的输入参数寻优，提高模型预测精度。

PSO算法中每个粒子就是d维空间的一个潜在解，记为Q_i=[q_i1 q_i2 … q_id]，第i个粒子的速度记为V_i=[v_i1 v_i2 … v_id]。在迭代过程中，第i个粒子搜索到的最佳位置为P_iopt=[p_i1 p_i2 … p_id]，所有粒子搜索到的最佳位置为P_g=[p_g1 p_g2 … p_gd]。粒子按式(13)更新速度和位置。

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{V}_{i, t+1}=\omega_{0} \boldsymbol{V}_{i, t}+c_{1} r_{1}\left(\boldsymbol{P}_{\mathrm{iopt}, t}-\boldsymbol{Q}_{i, t}\right)+c_{2} r_{2}\left(\boldsymbol{P}_{\mathrm{g}, t}-\boldsymbol{Q}_{i, t}\right) \\ \boldsymbol{Q}_{i, t+1}=\boldsymbol{Q}_{i, t}+\boldsymbol{V}_{i, t+1} \end{array}\right. $

(13)

式中：i=1, 2, …, I，I为粒子总数；t为迭代次数；ω₀为惯性权重因子；非负常数c₁，c₂为学习因子；r₁，r₂为[0, 1]之间的随机数。

2.3 GRA-ELM建模步骤

GRA-ELM建模步骤为：首先，利用GRA计算所有样本与待预测小区指标值之间的灰色关联度，选取灰色关联度较高的样本作为训练样本；然后，将挑选后的训练样本输入到ELM模型，并采用PSO算法对ELM模型的W和b进行寻优；最后，由模型输出预测值。

3 空间负荷预测实施方法

基于熵权法与GRA-ELM的空间负荷预测方法，利用熵权法对负荷密度指标进行权重分配，应用GRA为ELM挑选训练样本，并采用PSO算法对ELM的参数进行寻优，主要步骤如下。

3.1 数据搜集

在规划区域内，根据实际用地情况划分小区，搜集小区的历史负荷、面积、经济、人口等基础数据，为空间负荷预测奠定基础。

3.2 建立负荷密度指标体系

建立负荷密度指标体系是为了确定不同类型负荷的影响因素和这些影响因素组成的样本库，为空间负荷预测提供参考依据及有效的数据基础，避免因数据收集不足、输入模型杂乱无序而降低预测精度^[14]。

根据《城市用地分类与规划建设用地标准》^[17]给定的小区用地、用电性质，将规划区域内的负荷划分为4~10类(具体可按实际情况确定)，即商业负荷、居民负荷、工业负荷、物流负荷、教育科研负荷、公共负荷等。通过搜集到的数据，统计分析不同类型负荷的相关影响因素。建立负荷密度指标体系，得到不同类型负荷的密度值和影响因素数据库。不同类型负荷的影响因素如图 2所示。

3.3 求取负荷密度指标权重

应用熵权法对3.2节中的负荷密度指标进行权重分配，使得负荷密度指标体系更好地反映各因素对负荷密度值的影响。将权重分配结果具体应用在样本挑选和ELM中的数据输入上。若直接采用影响因素样本信息作为熵权法的输入，可能会掩盖影响因素信息与负荷密度值之间的某些联系。因此，利用GRA获取影响因素与负荷密度值之间的关联系数矩阵，作为熵权法的输入。

根据关联系数矩阵，应用熵权法获得负荷密度指标之间的权重分配。按式(1)计算关联系数矩阵的信息熵E_j，而后按式(3)计算各负荷密度指标权重w_j。

3.4 基于GRA挑选训练样本

为给ELM模型提供准确有效的训练样本，利用GRA对样本进行精选。以待预测小区的负荷密度指标为已知序列Y，样本的负荷密度指标为相关序列X_i，则二者之间的关联度为：

$ G\left(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{X}_{i}\right)=\sum\limits_{j=1}\left[w_{j} g\left(\boldsymbol{Y}_{j}, \boldsymbol{X}_{i j}\right)\right] $

(14)

需要注意的是，在负荷密度指标权重分配中，GRA是用来获取影响因素与负荷密度的关联系数矩阵，为熵权法确定指标权重提供可靠的数据。在GRA-ELM模型中，GRA是用来挑选与待测小区负荷密度指标较为相近的样本，为ELM提供有效的训练数据，二者的使用方式和作用皆不相同。

3.5 ELM模型输出负荷密度值

将GRA挑选的样本数据进行如式(15)所示的归一化处理，并将负荷密度指标数据乘上相应的指标权重w_j，作为ELM模型的输入x′ _i。

$ x_{i}^{\prime}=\frac{x_{i}}{x_{\max }} $

(15)

式中：x_i为第i个样本数据; x_max为各指标属性值中对应的最大值。

利用PSO算法优化ELM模型的W，b。将参数W，b编码为粒子，按式(14)迭代获取粒子最优位置，并解码得到最优解。将处理后的训练样本数据和优化后的参数输入到ELM中，得到待测区域的负荷密度预测值。

3.6 负荷值计算

根据获得的小区负荷密度预测值y_i和收集的小区面积s_i，可求得小区负荷预测值P_i。

$ P_{i}=y_{i} s_{i} $

(16)

对不同类型负荷的小区求取负荷预测值，得到分类负荷预测值。将分类负荷预测值相加，则可得规划区域内的总负荷预测值。空间负荷预测流程如图 3所示。

4 实例分析

以居民类小区为例，搜集上海市某居民类小区的负荷及影响因素数据，分析基于熵权法与GRA-ELM的空间负荷预测实际效果。在居民负荷中，选取的负荷密度指标为人口密度A₁, 人均月收入A₂, 人均负荷用电量预期A₃, 电价A₄。整理各指标数据，并计算小区负荷密度C，作为空间负荷预测模型的输入样本。小区样本总数为163，样本具体指标数据如表 1所示。

将上述样本输入GRA中，得到各指标与负荷密度值的关联系数矩阵，再将关联系数矩阵输入到熵权法模型中，得到各影响因素指标对负荷密度值的影响权重，结果如表 2所示。

由表 2可知，在居民负荷中，人口因素对小区负荷密度值的影响程度较高，电价因素对小区负荷密度值的影响程度较低。这与居民负荷中人口密度增大时用电需求随之增加，以及居家用电刚性需求受电价影响相对较小的实际情况相符。

计算待预测小区负荷密度指标数据与样本的灰色关联度，选取关联度大于0.9的样本进行训练。表 3为待预测小区指标数据与样本的灰色关联度。

将训练样本输入ELM模型，输出待预测小区的负荷密度值，并根据式(16)计算小区负荷预测值。不同方法得到的预测值对比如表 4所示，负荷实际值为15.60 MW，相对误差为预测值相对实际值的误差大小。

由表 4可知，文中方法预测值的相对误差为1.73%，精度较高；未引入熵权法进行负荷密度指标权重分配的方法预测精度稍低，相对误差为2.88%；未使用GRA挑选训练样本的方法预测精度较低，相对误差为8.01%。由此表明，训练样本的选择对模型的预测结果有重要影响。同时，负荷密度指标权重的合理分配，有助于提高预测精度。

进一步与文献[12]、文献[13]的负荷预测结果进行对比，结果见表 5。文献[12]采用模糊C-均值(fuzzy C-means，FCM)聚类算法挑选训练样本，利用LS-SVM得到预测结果。文献[13]采用GRA挑选训练样本，利用LS-SVM得到预测结果。

由表 5可知，文中方法预测精度最高，其次为文献[13]采用GRA挑选样本的LS-SVM方法，最后为文献[12]采用FCM挑选样本的LS-SVM方法。对比不同方法的运行时间(6次运行时间的平均值)，文中方法耗时最短。由此表明，文中所提方法预测精度较高，且具有较快的运行速度。

5 结语

文中提出了基于熵权法与GRA-ELM的空间负荷预测方法，先引入熵权法对负荷密度指标进行了客观权重分配，而后利用ELM学习能力强、速度快的优势，采用GRA为ELM挑选高质量训练样本，并使用PSO算法对ELM参数进行优化，提高预测精度。实例分析表明，与未引入熵权法、未引入GRA或采用LS-SVM的方法相比，文中方法的空间负荷预测精度较高。